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2.1 - Sommari
Geometria Affine - Sommario

Geometria Affine - Sommario

Tutto sulla Geometria Affine, in particolare la Geometria Affine del piano e dello spazio.

0. INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA AFFINE

Introduzione alla Geometria Affine

Breve discorso di introduzione alla Geometria affine

0. Voci Correlate

1. Breve discordo introduttorio

DI COSA TRATTA LA GEOMETRIA AFFINE? La geometria affine è quel ramo affascinante che si occupa degli oggetti "dritti" - piani e rette - esplorandoli in modo intrigante. In questa esplorazione, attribuiremo a questi oggetti la caratteristica distintiva di essere "spazi di punti" e useremo i "spazi vettoriali" come dei spazi di direzioni (Spazi Vettoriali).

LA DIFFERENZA TRA SPAZI VETTORIALI E SPAZI AFFINI. Come mai non utilizziamo i spazi vettoriali direttamente come dei spazi affini? In altre parole, come mai non facciamo coincidere questi due concetti?
Questo perché un spazio vettoriale, ad esempio , ha delle proprietà "extra" rispetto dello spazio euclideo: ovvero l'elemento nullo , o nel caso di il vettore-colonna .
Invece in uno spazio euclideo la nozione di "punto nullo" non avrebbe senso.

IL PUNTO CRUCIALE. Uno dei punti cruciali di questo studio della geometria affine è lo studio dei sottospazi affini e in particolare troveremo due metodi interessanti per codificarli: da un lato abbiamo le equazioni cartesiane, dall'altro le equazioni parametriche.
Vedremo che sono particolarmente interessanti in quanto essi possono presentare collegamenti interessanti con la statistica e con l'informatica.

A. LO SPAZIO AFFINE

A1. Definizione di Spazio Affine

Definizione di Spazio Affine
Definizione di Spazio Affine

Definizione di Spazio Affine: le proprietà caratterizzanti, l'origine del concetto di spazio affine.

0. Voci correlate

1. Definizione di Spazio Affine

Definizione 1 (spazio affine).

Sia un -spazio vettoriale (Definizione 1 (spazio vettoriale sul campo K)).
Definiamo un insieme come uno spazio affine su nel caso in cui esiste l'applicazione
(Inoltre denotiamo l'applicazione degli elementi come)
Poi questa applicazione deve rispettare i seguenti criteri (SA1., SA2.).

  • SA1. (l'unicità del vettore di due punti)
  • SA2. (la somma di due punti è la risultante)
Definizione 2 (punto di spazio affine).

Sia uno spazio affine su (Definizione 1 (spazio affine)), allora un qualunque elemento di si dice punto.

2. Origine del concetto

Osservazione 3 (spazio affine come generalizzazione dei vettori liberi).

Questa definizione di spazio affine emerge come generalizzazione delle proprietà dei vettori liberi (Vettori Liberi > ^d09c32).
Infatti abbiamo visto che questi vettori liberi formano uno spazio vettoriale (Definizione 1 (spazio vettoriale sul campo K)), e che per ogni punto e per ogni vettore libero esiste un vettore applicato (Vettori Applicati > ^cc8a3c) con punto di applicazione e classe di equipollenza (Vettori Liberi > ^dc78a7). Geometricamente questo ragionamento viene illustrato nella figura 2.1..
Dopodiché il punto che abbiamo determinato è unico e vale che le classe di equipollenza del vettore è uguale a , che è una classe di equipollenza.
In particolare vale anche la proprietà SA2. della definizione di spazio affine: se ho tre punti, allora posso "collegare" solo il punto iniziale e finale, "saltando" il punto intermedio (figura 2.2.).

FIGURA 2.1. (Vettore applicato come elemento particolare di un vettore libero)
Pasted image 20231209113517.png
FIGURA 2.2. (Regola SA2. in termini di vettori applicati)
Pasted image 20231209113528.png

A2. Spazio Affine

Spazio Affine su K
Spazio Affine su K

Esempio particolare di spazio affine: definizione di spazio affine su ,

0. Prerequisiti e/o voci correlate

1. Definizione particolare di spazio affine su

Definizione 1 (Esempio particolare ).

Si può prendere lo spazio affine e scegliere il suo spazio vettoriale "d'appoggio" il medesimo (ovvero ): dal discorso introduttorio (Introduzione alla Geometria Affine) ricordiamoci che comunque svolge due ruoli diversi! Da un lato abbiamo in quanto spazio affine, dall'altro lato abbiamo in quanto spazio vettoriale.

Allora quando pensiamo in quanto spazio affine, denotiamo i suoi elementi come dei vettori-riga; invece quando la pensiamo in quanto spazio vettoriale, denotiamo i suoi elementi come dei vettori-colonna.

In questo caso la funzione di definizione che rende uno spazio affine è il seguente.
Teniamo questa definizione in mente, in quanto questo ci servirà per studiare lo spazio .
Infatti, indicheremo questo tipo di spazio affine con

2. Esempio

Esempio 2 (dello spazio affine ).

Consideriamo lo spazio affine .
Prendiamo i punti .
Allora in questo caso
(figura 3.1.)

FIGURA 3.1. (esempio dello spazio affine 2D sui reali)
Pasted image 20231209115048.png

A3. Proprietà dello spazio affine

Proprietà dello Spazio Affine
Proprietà dello Spazio Affine

Lemma di proprietà dello spazio affine, scaturite dalle proprietà di definizione.

0. Prerequisiti e/o voci correlate

1. Proprietà dello Spazio Affine

Lemma 1 (di proprietà dello spazio affine).

Sia uno spazio affine su (Definizione 1 (spazio affine), Definizione 1 (spazio vettoriale sul campo K)).
Allora valgono le seguenti proprietà.

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del lemma 1.1.
Le due proprietà seguono dalle proprietà di definizione SA1., SA2. dello spazio affine (Definizione 1 (spazio affine)).

  1. Devo mostrare che per ogni vettore vale
    in quanto il vettore .
    Allora per la SA1. della proprietà di definizione, vale che
    Ma allora si ha
  2. Devo mostrare la somma
    Ma allora

A4. Dimensione di uno spazio affine

Dimensione di uno Spazio Affine
Dimensione di uno Spazio Affine

Definizione di dimensione per uno spazio affine: casi particolari

0. Prerequisiti e/o voci correlate

1. Definizione di Dimensione per uno Spazio Affine

Definizione 1 (dimensione di uno spazio affine).

Sia uno spazio affine su (Definizione 1 (spazio affine)), sia un -spazio vettoriale di dimensione finita (Definizione 1 (spazio vettoriale sul campo K), Definizione 1 (dimensione di un spazio vettoriale)).
Allora definisco la dimensione dello spazio affine come la dimensione del suo spazio vettoriale "di appoggio" ;

2. Casi particolari

Definizione 2 (punto, retta, piano e spazio affine).

Voglio dividere "casistiche" in cui ho il numero diverse.

  1. Se , parliamo di punto affine.
  2. Se , parliamo di retta affine.
  3. Se , parliamo di piano affine.
  4. Se , parliamo di spazio affine.

Quindi abbiamo in totale quattro casi.

A5. Riferimento affine su uno spazio affine

Riferimento affine su uno Spazio Affine
Riferimento affine su uno Spazio Affine

Definizione di riferimento affine su uno spazio affine; esempio.

0. Prerequisiti e/o voci correlate

1. Definizione di riferimento affine

Definizione 1 (riferimento affine su uno spazio affine relativo ad una base).

Sia uno spazio affine su (Definizione 1 (spazio affine)), sia di dimensione finita con (Definizione 1 (dimensione di un spazio vettoriale)).
Definiamo un riferimento affine su come la coppia , dove

Allora dato un riferimento affine e dato un punto , le coordinate di rispetto a sono la -upla (ovvero il vettore-riga) data dalle coordinate rispetto alla base del vettore (Definizione 1.2. (Coordinate di vettore rispetto alla base)).

2. Esempio con spazio affine su K

Definizione 2 (riferimento standard / canonico).

Se consideriamo lo spazio affine (Spazio Affine su K) e il riferimento affine dove:

  • è la base canonica dove

Allora il riferimento viene definito come il "riferimento standard/canonico" di e le coordinate di un qualsiasi punto rispetto a sono dette le "coordinate standard".

Esempio 3 (esempio con riferimento canonico).

Considero lo spazio affine e il riferimento standard .
Allora fissando il punto voglio ottenere le sue coordinate standard rispetto al riferimento standard.
Considero dunque il vettore :
Consideriamo dunque le sue coordinate rispetto alla base standard ;
Pertanto le coordinate di , ovvero le coordinate del punto rispetto al riferimento standard, sono .

Esempio 4 (esempio con riferimento non canonico).

Se avessimo considerato sempre lo stesso punto ma avessimo preso un altro riferimento affine , dove:

  • La base non standard è

Allora per calcolare le coordinate del punto rispetto al "nuovo" riferimento affine si deve comunque prendere in considerazione il vettore :
Allora in questo caso le coordinate di rispetto a sono .

B. LO SOTTOSPAZIO AFFINE

B1. Definizione di sottospazio affine

Definizione di Sottospazio Affine
Definizione di Sottospazio Affine

Definizione di Sottospazio Affine, esempio e definizione di dimensione per sottospazio affine.

0. Prerequisiti e/o voci correlate

1. Definizione di Sottospazio Affine

Definizione 1 (sottospazio affine passante per Q e parallelo a W).

Sia uno spazio affine su (Definizione 1 (spazio affine)) e consideriamo un punto e un sottospazio vettoriale (Definizione 1 (sottospazio vettoriale)).
Definiamo allora il sottospazio affine passante per e parallelo a il seguente insieme:
Ovvero "l'insieme di tutti i punti di uno spazio affine tali che l'applicazione di un punto qualsiasi e stia in ".
Inoltre, diciamo che il sottospazio vettoriale è la giacitura di .

2. Esempio su R2

Esempio 2 (esempio di sottospazio affine su ).

Consideriamo lo spazio affine con (Definizione 1 (Esempio particolare )).
Prendiamo il punto e .
Allora vogliamo sapere "chi è lo sottospazio affine ".
Scriviamo innanzitutto la definizione dello sottospazio affine e vediamo di "analizzarlo":
Vedremo in seguito che questa è la forma parametrica della descrizione di un sottospazio vettoriale e questa ci permette di "generare" tutti i possibili punti di che vogliamo, ponendo per un qualsiasi numero.

3. Dimensione di Sottospazio Affine

Definizione 3 (dimensione di sottospazio affine).

Sia uno sottospazio affine su e sia un sottospazio affine di giacitura .
Diciamo che la dimensione (Definizione 1 (dimensione di un spazio vettoriale)) di è la medesima della sua giacitura .

B2. Proprietà dello sottospazio affine

Proprietà dello Sottospazio Affine
Proprietà dello Sottospazio Affine

Tre proprietà dello sottospazio affine.

0. Prerequisiti e/o voci correlate

1. Le proprietà dello Sottospazio Affine

Proposizione 1 (le tre proprietà dello sottospazio affine).

Sia uno spazio affine su (Definizione 1 (spazio affine)) e sia uno sottospazio affine di giacitura passante per (Definizione 1 (sottospazio affine passante per Q e parallelo a W)).
Allora valgono le seguenti proprietà:

  1. Il punto per cui passa appartiene a stesso.
  2. "Chiusura" di su in .
  3. Lo sottospazio affine passante per un altro punto di è lo stesso.
  1. Questo è evidentemente vero e sembra addirittura quasi una tautologia;
    e questo è palesemente vero in quanto è sottospazio vettoriale.
  2. Vogliamo verificare l'implicazione .
    Per definizione vale che
    Allora possiamo riscriverli come
  3. Devo mostrare la doppia inclusione
    "": Sia un qualsiasi elemento di ; allora per definizione vale che .
    D'altro canto abbiamo che , allora vale pure . Pertanto
    "": Sia un punto qualsiasi tale che . Dato che , allora deve valere che . Però possiamo scrivere come
    ed entrambi appartengono a , di conseguenza , ovvero .
Osservazione 2 (lo sottospazio affine con giacitura W è spazio affine su W).

Notiamo che se è sottospazio affine con giacitura , allora si può mostrare che è spazio affine su .

B3. Definizione di Iperpiano

Iperpiano
Iperpiano

Definizione di Iperpiano.

0. Prerequisiti e/o voci correlate

1. Definizione di Iperpiano

Definizione 1 (iperpiano di uno spazio affine).

Sia un spazio affine su (Definizione 1 (spazio affine)), sia un sottospazio affine (Definizione 1 (sottospazio affine passante per Q e parallelo a W)).
Se vale che
allora si dice iperpiano.

Osservazione 2 (iperpiani di spazi affini su K).

Possiamo "ridefinire" i punti, le rette e i piani (Definizione 2 (punto, retta, piano e spazio affine)) in termini di iperpiani:

  • Un punto è un iperpiano di ;
  • Una retta è un iperpiano di ;
  • Un piano è un iperpiano di in poi.

Le definizioni sono quindi simili.

B4. Posizione reciproca tra sottospazi affini

Posizione Reciproca di Sottospazi Affini
Posizione Reciproca di Sottospazi Affini

Posizione reciproca tra sottospazi affini: definizione di sottospazi affini incidenti, coincidenti, paralleli e sghembi.

0. Prerequisiti e/o voci correlate

1. Sottospazi affini incidenti, coincidenti, paralleli e sghembi

Definizione 1 (sottospazi affini incidenti, coincidenti, paralleli e sghembi).

Siano , dei sottospazi affini (Definizione 1 (sottospazio affine passante per Q e parallelo a W)) di giacitura rispettivamente .
Allora si dicono:

  • incidenti se
    • in particolare coincidenti se si verifica che
  • paralleli (e scriviamo ) se o viceversa; in particolare si deve considerare la giacitura più "debole", ovvero il sottospazio vettoriale di dimensione minore.
    In particolare se hanno la stessa dimensione, dev'essere
  • sghembi se non sono né incidenti né paralleli; questo può succedere ad esempio con due rette in .

FIGURA 1.1. (Situazioni grafiche in 2D e 3D)
Pasted image 20231213160017.png

C. LA CODIFICAZIONE DI UNO SOTTOSPAZIO AFFINE

C1. Equazioni cartesiane e parametriche di uno sottospazio affine

Definizione di Equazioni Cartesiane e Parametriche di uno Sottospazio Affine
Definizione di Equazioni Cartesiane e Parametriche di uno Sottospazio Affine

Definizione di Equazioni Cartesiane ed Equazioni Parametriche per la codificazione per uno sottospazio affine; teorema preliminare, dimostrazione e definizioni.

0. Prerequisiti e/o voci correlate

1. Teorema preliminare

Teorema 1 (di codificazione dei sottospazi affini).

Sia (Osservazione 5 ( diventa un -spazio vettoriale)), .
Supponiamo che il sistema lineare (Definizione 2 (sistema lineare di equazioni in incognite a coefficienti in )) sia compatibile e sia l'insieme delle soluzioni (Definizione 4 (soluzione di un sistema)).
Allora
è uno sottospazio affine la cui giacitura è il sottospazio vettoriale delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato (Definizione 1 (sottospazio affine passante per Q e parallelo a W))
Inoltre,

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 1.1. (Teorema 1 (di codificazione dei sottospazi affini))
Questo teorema segue direttamente dal teorema di struttura per le soluzioni dei sistemi lineari arbitrari (Definizione 9 (sistema lineare omogeneo associato)). Infatti tutte e sole le soluzioni di sono della forma
dove è una soluzione fissata di , invece è una soluzione qualsiasi di .
Pertanto se "interpretiamo" come un punto e pensiamo ad una soluzione di , come un altro punto , allora vediamo che i punti sono del tipo
e appartiene a , che sarebbe l'insieme delle soluzioni di . Questo è esattamente la definizione di un sottospazio affine passante per di giacitura (Definizione 1 (sottospazio affine passante per Q e parallelo a W)).
In tal caso dal teorema di dimensione (Teorema di dimensione delle soluzioni di sistemi lineari) discende che

2. Definizione di Equazioni Cartesiane e Parametriche

Equazioni Cartesiane

Definizione 2 (equazioni cartesiane di uno sottospazio affine).

Sia un sottospazio affine "codificata" dal sistema lineare (in parole più rigorose, rappresenta le soluzioni del seguente sistema lineare)
Allora le equazioni del sistema lineare si dicono equazioni cartesiane per , ovvero le equazioni del tipo

Osservazione 3 (Osservazione 2.1.).

Se un sistema lineare ha come insieme delle soluzioni , allora ogni sistema lineare equivalente (Definizione 9 (sistemi lineari equivalenti)) a avrà il medesimo insieme .
Pertanto, applicando le operazioni elementari (Algoritmo di Gauß > ^ccc408) a , otteniamo altre equazioni cartesiane per .
Infatti, questa osservazione diventerà la base dell'"algoritmo" del passaggio dalle equazioni cartesiane a quelle parametriche (Passaggio tra Equazioni Cartesiane e Parametriche di uno Sottospazio Affine).

Equazioni Parametriche

Osservazione 4 (osservazione preliminare per la definizione di equazioni parametriche).

Sia ora un sottospazio affine passante per e di giacitura . Supponiamo che è generata dalla base (Definizione 1.1. (Base)) ; ovvero .
Allora possiamo scrivere ogni elemento della base come elemento di :
Allora per definizione se , i punti di sono tutti e soli punti che soddisfano .
Riscriviamo quindi questa condizione utilizzando i termini che abbiamo appena introdotto.
In definitiva abbiamo il sistema di equazioni

Definizione 5 (equazioni parametriche per uno sottospazio affine).

Sia uno sottospazio affine di giacitura e passante per . Sia la base di generata dai vettori . Sia il punto .
Allora il seguente sistema di equazioni si dice equazioni parametriche per uno sottospazio affine con parametri.
dove sono detti parametri.

3. Pro e Contro

Osservazione 6 (vantaggi e svantaggi delle due forme).

Vediamo che abbiamo due forme distinte per "codificare" un sottospazio affine; entrambi di essi hanno i suoi vantaggi e svantaggi.
Nel caso delle equazioni parametriche possiamo facilmente generare punti dello sottospazio, quindi possiamo mediante gli strumenti dell'informatica generare una visualizzazione grafica dello sottospazio affine inserendo valori di a piacimento; tuttavia se invece vogliamo verificare che un punto specifico appartenga ad uno sottospazio affine, allora si dovrebbe "provare" tutti i valori .
Però saremmo facilitati con le equazioni cartesiane a questo fine: basta inserire i valori numerici del punto per verificare se esso appartenga o meno al sottospazio affine.

Questa distinzione vale anche per gli oggetti algebrici!

4. Conseguenze di queste forme

Osservazione 7 (un sottospazio affine è descritto da equazioni cartesiane).

Da quanto visto, un sottospazio affine di dimensione (Definizione 3 (dimensione di sottospazio affine)) è sempre descritto da equazioni cartesiane (Definizione 2 (equazioni cartesiane di uno sottospazio affine)), data la sua definizione.
In particolare un retta in è descritta da una sola equazione cartesiana; invece in verrebbe descritta da due equazioni cartesiane.

Osservazione 8 (ogni iperpiano è descritta da una sola equazione).

Sia un iperpiano (Definizione 1 (iperpiano di uno spazio affine)), ovvero un sottospazio affine di dimensione .
Allora come visto sopra, è descritta da equazione cartesiana.
Viceversa, ogni volte che imponiamo un'equazione non banale (ovvero non del tipo ) allora determiniamo un iperpiano in ; in altre parole ogni iperpiano di è descritta da un'equazione del tipo

Osservazione 9 (una retta è determinata da due equazioni nello spazio).

Come vedremo nella geometria dello spazio affine (Geometria dello Spazio Affine), una retta in è descritta da un sistema di equazioni del tipo
Graficamente questo significa "l'intersezione di due piani distinti forma una retta nello spazio".

FIGURA 4.2. (OSS 4.2.)
Pasted image 20231213170142.png

C2. Passaggio tra equazioni cartesiane e parametriche

Passaggio tra Equazioni Cartesiane e Parametriche di uno Sottospazio Affine
Passaggio tra Equazioni Cartesiane e Parametriche di uno Sottospazio Affine

Passaggio tra equazione cartesiana a parametrica (e viceversa) di uno sottospazio affine.

0. Prerequisiti e/o voci correlate

1. Da cartesiana a parametrica

Proposizione 1 (algoritmo di passaggio da equazione cartesiane a parametriche).

Sia un sistema lineare (Definizione 2 (sistema lineare di equazioni in incognite a coefficienti in )) che esprime le equazioni cartesiane (Definizione 2 (equazioni cartesiane di uno sottospazio affine)) di un sottospazio affine (Definizione 1 (sottospazio affine passante per Q e parallelo a W)).

Allora per trovare le equazioni parametriche di questo sottospazio affine è sufficiente considerare il teorema di struttura delle soluzioni per i sistemi lineari (Definizione 9 (sistema lineare omogeneo associato)): ovvero si tratta prima di determinare una soluzione particolare risolvendo , e poi determinando l'insieme delle soluzioni di ; essendo lo span (Combinazione Lineare) di alcuni vettori, allora avremo dei parametri liberi che chiameremo .

Infine un qualunque elemento della soluzione di è un elemento dello sottospazio affine (Teorema 1 (di codificazione dei sottospazi affini)): pertanto si avrà un sistema di equazioni con delle variabili libere arbitrarie, che è esattamente la nozione di equazioni parametriche.

Esempio 2 (Esempio 1.1.).

Si consideri il seguente esempio.
Per il teorema di Rouché-Capelli (Teorema di Rouché-Capelli), questo sistema lineare è compatibile. Calcoliamo dunque la sua generica soluzione .

In primo luogo determiniamo il numero di equazioni necessarie per descrivere il sottospazio, calcolando
Allora è una retta e la sua sola equazione cartesiana è

Ora, considerando il teorema di struttura delle soluzioni di un sistema lineare qualsiasi, sappiamo che .
Teniamo la soluzione particolare Ora calcoliamo il sottospazio delle soluzioni ;

Pertanto le equazioni parametriche di sono

2. Da parametrica a cartesiana

Proposizione 3 (algoritmo di passaggio da equazioni parametriche a cartesiane).

Supponiamo di avere le seguenti equazioni parametriche (Definizione 5 (equazioni parametriche per uno sottospazio affine)) per un sottospazio affine , ovvero un sistema del tipo
Queste valgono se e solo se i vettori sono combinazioni lineari della base di , ovvero ; allora questo vale se e solo se i vettori
sono linearmente dipendenti (Definizione 1 (dipendenza lineare di vettori)): questo vale se e solo se la matrice completa del sistema ha rango ; infatti il rango minimo dev'essere in quanto sono linearmente indipendenti in quanto elementi della base, ma il rango massimo dev'essere anche dato che abbiamo un vettore linearmente dipendente.

In altre parole, bisogna imporre la condizione
Allora usiamo il teorema di caratterizzazione del rango (Proposizione 1 (Effetti degli O.E. sul rango)): prima gradinizziamo la matrice mediante l'algoritmo di Gauß (Algoritmo di Gauß), dopodiché imponiamo le ultime righe nulle.
Ovvero, avremmo una matrice del tipo
Infatti imponiamo le equazioni che troviamo nella parte segnata uguale a . Così troviamo le equazioni cartesiane per .

Esempio 4 (Esempio 2.1.).

Si consideri il seguente esempio.
Abbiamo in il sottospazio affine dei punti con le equazioni parametriche
Allora per ottenere le equazioni cartesiano e considero la matrice completa e lo gradinizzo mediante l'algoritmo di Gauß
Ora dobbiamo imporre che , ovvero .
In definitiva, l'equazione cartesiana ottenuta è l'unica equazione
che ha senso, dato che .

D. LA GEOMETRIA DEL PIANO E DELLO SPAZIO AFFINE

D1. La geometria del piano affine 2D

Geometria del Piano Affine
Geometria del Piano Affine

Cenni alla geometria del piano affine: tutti i sottospazi affini possibili; le rette nel piano, equazioni cartesiane e parametriche; generare retta da due punti; condizioni di coincidenza e parallelismo per due rette.

0. Prerequisiti e/o voci correlate

1. I sottospazi del Piano

Definizione 1 (punto, retta e piano).

Sia un spazio affine (Definizione 1 (Esempio particolare )).
Allora, prendendo un sottospazio affine tale che , ho tre possibilità:

  1. ; allora rappresenta un punto del piano.
  2. ; allora è una retta.
  3. ; allora coincide con il suo spazio affine .

In questa pagina ci concentreremo particolarmente sulle rette.

2. Equazioni parametriche e cartesiane per le rette

Teorema 2 (equazioni parametriche e cartesiane per le rette sul piano).

Sia una retta su , passante per e di giacitura .
Allora può essere rappresentate mediante le seguenti forme:

  1. Equazione parametrica (Definizione 5 (equazioni parametriche per uno sottospazio affine))
  2. Equazione cartesiana
  1. Equazione parametrica
    Per generare l'equazione parametrica è sufficiente considerare il teorema di struttura delle soluzioni di un sistema lineare arbitrario (Definizione 9 (sistema lineare omogeneo associato)). Infatti, consideriamo come l'insieme dei punti che rappresentano una soluzione del tipo , dove viene "rappresentata" dai punti di e da .
  2. Equazione cartesiana
    Se un punto generico appartiene a , allora è soluzione all'equazione parametrica
    Ovvero, svolgendo delle manipolazioni abbiamo
    Allora il punto è soluzione del sistema, quindi linearmente dipendente dal vettore .
    Ora consideriamo la matrice completa
    Per definizione il rango dev'essere necessariamente . Ma allora, per il teorema di Rouché-Capelli e delle considerazioni ulteriori sul nesso tra rango e determinante di una matrice (Proposizione 4 (Invertibilità di una matrice)), il determinante dev'essere nullo.
    Ovvero, per definizione del determinante di una matrice , abbiamo l'equazione

3. Determinare equazioni per le rette dati due punti

Osservazione 3 (richiamo dalla geometria elementare).

Dalla geometria elementare euclidea sappiamo che per due punti distinti nel piano passa una ed una sola retta. Graficamente, questo enunciato è banale; infatti, possiamo collegare due punti distinti con una "riga dritta" in un unico modo.
Però ora vediamo di procedere con un enunciato rigoroso, seguito da una dimostrazione rigorosa.

Teorema 4 (equazione parametrica e cartesiana della retta tra due punti distinti).

Siano punti distinti nel piano .
Ovvero, siano e , con .
Allora la retta è determinata dalla seguente equazione parametrica:
In particolare, è determinata anche dalla seguente equazione cartesiana:
Inoltre se sussiste che , allora l'equazione cartesiana è equivalente a

Osservazione 5 (il significato della condizione supplementare per l'equazione cartesiana).

Notiamo che possiamo ottenere l'equazione cartesiana più "elegante" se è vera la condizione per cui .
Questa condizione, in termini geometrici, vuol dire che la retta passante per i due punti non è verticale; infatti, .
Allora, ciò significa che non sono verticalmente allineati.

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 3.1. (Teorema 4 (equazione parametrica e cartesiana della retta tra due punti distinti))
Partiamo considerando che se è la retta che contiene sia , allora per definizione vale che .
Ora calcoliamo il vettore . Sicuramente questo vettore soddisfa la seguente proprietà:
Infatti questo vale per le ipotesi iniziali.
Quindi è il "vettore di direzione" che "collega" i punti , ovvero la giacitura di .
Così abbiamo abbastanza informazioni per ottenere le equazioni cartesiane e parametriche con le formule date nel teorema 2.1. (Teorema 2 (equazioni parametriche e cartesiane per le rette sul piano)).

4. Condizioni di incidenza e di parallelismo per due rette

Osservazione 6 (richiamo dalla geometria euclidea).

Dalla geometria elementare ci ricordiamo che, se ho due rette allora ho le seguenti possibilità: che siano parallele, coincidenti o incidenti.
In particolare, sono parallele se e solo se le rette sono identiche o non hanno punti in comune; sono incidenti se hanno un solo punto in comune.
Però, ora vediamo di "tradurre" questo postulato in termini nostri. Effettuiamo questa transizione dalla geometria elementare alla formulazione affine della geometria.

Teorema 7 (condizioni di parallelismo e di incidenza per due rette).

Siano due rette, rispettivamente passanti per e e di giacitura , .
Allora sono parallele se e solo se hanno la stessa giacitura, in particolare non sono coincidenti se il sistema lineare
è incompatibile.

Inoltre sono incidenti (ma non coincidenti) se e solo se il sistema lineare
ha la sua matrice dei coefficienti rango massimo (), ovvero compatibile con un'unica soluzione.

Osservazione 8 (la generalizzazione del concetto di parallelismo e di incidenza).

Notiamo che queste condizioni di parallelismo e di incidenza non sono altro che una generalizzazione del concetto delle posizioni reciproche tra sottospazi (Posizione Reciproca di Sottospazi Affini), in questo caso abbiamo applicato queste definizioni allo spazio affine .

  • Condizioni di parallelismo
    Partiamo dal presupposto che (infatti altrimenti la dimostrazione sarebbe banale; se le rette sono le stesse, allora sono coincidenti, ergo paralleli) e che non abbiamo punti in comune.
    Allora hanno equazioni parametriche del tipo
    Osserviamo che dire non hanno punti in comune equivale a dire che non esistono tali che
    Ma allora se non esistono tali coefficienti, allora ciò equivale a dire che il sistema lineare appena costruito è incompatibile.
    Ma allora per il teorema di Rouché-Capelli (Teorema 1 (di Rouché-Capelli)), il rango della matrice dei coefficienti e della matrice completa devono essere diversi.
    Dato che nessuna di queste matrici è la matrice nulla, il rango dev'essere di minimo . Ma al massimo il rango può essere per , o per ; pertanto l'unica possibilità è che
    Ma allora se la matrice dei coefficienti
    ha rango , allora i due vettori-colonna devono essere linearmente dipendenti. Ma allora se sono linearmente dipendenti, il loro devono essere gli stessi.
    Pertanto,
  • Condizioni di incidenza
    Ora consideriamo il caso in cui sono distinte tra di loro e non parallele. Ovvero, supponendo che , ovvero i vettori
    sono linearmente indipendenti. Inoltre notiamo che ovviamente da ciò discende che
    sono linearmente indipendenti.
    Ora, come fatto prima, consideriamo il sistema lineare nelle variabili e capiamo se questa è compatibile o meno.
    Dato che i vettori-colonna della matrice dei coefficienti sono linearmente indipendenti, abbiamo che il suo rango è massimo: pertanto, per il teorema di caratterizzazione del rango (Proposizione 4 (Invertibilità di una matrice)) questa è invertibile; pertanto per il teorema di Cramer (Teorema 1 (di Cramer)) questo sistema ammette un'unica soluzione, che è data dalla sua inversa moltiplicata per i coefficienti .

5. Esercizi misti

Esercizio 9 (Esercizio 5.1.).

Siano i punti e . Trovare la retta passante per , sia in forma parametrica che cartesiana.

D2. La geometria dello spazio affine 3D

Geometria dello Spazio Affine
Geometria dello Spazio Affine

Geometria dello Spazio Affine: tutti i sottospazi possibili; equazioni per la retta nello spazio; determinare una retta nello spazio da due punti; equazioni del piano; determinare un piano da tre punti non allineati; determinare se tre punti sono allineati o meno; condizioni di coincidenza e di parallelismo per le rette e gli spazi; condizioni di complanarità tra due rette

0. Prerequisiti e/o voci correlate

1. I sottospazi dello Spazio

Definizione 1 (punto, retta, piano).

Sia un sottospazio affine (Definizione 3 (dimensione di sottospazio affine)), allora può essere identificata con una delle seguenti:

  • ; si dice punto;
  • ; si dice retta;
  • ; si dice piano;
  • ; allora è il spazio affine stesso.

2. Equazioni della retta nello spazio

Teorema 2 (equazioni parametriche e cartesiane della retta nello spazio).

Sia una retta (ovvero con ), passante per il punto e di giacitura .
Allora abbiamo le seguenti equazioni parametriche e cartesiane per descrivere ;

  • Equazioni parametriche
  • Equazioni cartesiane
    (vale solo se ; altrimenti si deve considerare un altro parametro )

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 2.1.
La dimostrazione è stata omessa, in quanto il ragionamento è completamente analogo a quello presentato nella derivazione delle equazioni parametriche e cartesiane per una retta in (Geometria del Piano Affine > ^ff21d0).

3. Determinare rette nello spazio da due punti

Teorema 3 (equazioni della retta passante per due punti).

Siano due punti distinti nello spazio, con e .
Allora per questi due punti pasa una ed una sola retta e le sue equazioni sono le seguenti.

  • Equazioni parametriche
  • Equazioni cartesiane
    (questo vale solo se ; altrimenti bisogna considerare casi diversi)

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 3.1.
Omessa per le stesse ragioni della dimostrazione del teorema 3.2..

4. Equazioni del piano nello spazio

Teorema 4 (equazioni del piano nello spazio).

Siano dei "vettori di direzione" linearmente indipendenti, dove
sia un punto nello spazio.
Allora un piano passante per e di giacitura ha le seguenti equazioni:

  • Equazioni parametriche
  • Equazione cartesiana

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 4.1.
La derivazione delle equazioni parametriche è stata omessa; invece sarà utile riflettere sulla derivazione dell'equazione cartesiana.
Pigliamo la matrice
Per ipotesi iniziali sappiamo che dev'essere almeno , dato che le prime due colonne sono linearmente indipendenti. Tuttavia sappiamo che il range può essere al massimo , dato che la terza colonna è linearmente dipendente dalle prime due.
Di conseguenza, da questi fatti discerne che ; di conseguenza per le condizioni di invertibilità del determinante (Corollario 4 (condizioni di determinante nullo)), non è invertibile, ergo . Di conseguenza possiamo usare la definizione di Sarrus del determinante (Teorema 8 (determinante di una matrice 3x3 secondo la regola di Sarrus)) e ottenere l'equazione finale.

5. Determinare l'allineamento di tre punti

Teorema 5 (criteri di allineamento di tre punti nello spazio).

Siano tre punti nello spazio.
Allora, per determinare se questi siano "allineati" o meno possiamo adoperare uno dei criteri:
i. Determinare le rette passanti per e e vedere se siano coincidenti o meno;
ii. Determinare la retta e vedere se il punto ci appartenga o meno;
iii. Verificare la dipendenza lineare tra i vettori e .
(Figura 5.1.)

FIGURA 5.1. (L'idea grafica dei criteri)
Pasted image 20240114165402.png

6. Determinare un piano da tre punti nello spazio

Osservazione 6 (per tre punti passa un solo piano).

Come osservato con la geometria del piano affine (Osservazione 3 (richiamo dalla geometria elementare)), per due punti distinti passa una e sola retta.
Parimenti, per tre punti passa un solo piano, se questi punti non sono allineati.
Ora vediamo di derivare l'equazione di questo piano.

Teorema 7 (l'equazione del piano passante per tre punti).

Siano dei punti distinti e non allineati del tipo .
Allora esiste uno e solo piano passante per ed è descritto dalle seguenti equazioni:

  • Equazioni parametriche
  • Equazioni cartesiane
    con

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 6.1.
Per questa derivazione scegliamo a piacere due applicazioni lineari tra due punti; nel caso dell'enunciato abbiamo scelto e . Dato che i tre punti non sono allineati, allora sicuramente saranno linearmente indipendenti; di conseguenza, definendo il sottospazio vettoriale , abbiamo proprio la giacitura del piano.
Da qui in poi sarà semplice determinare le equazioni parametriche e cartesiane per .

7. Condizioni di parallelismo e di incidenza tra retta e spazio

Teorema 8 (condizioni di parallelismo e di incidenza tra una retta e un spazio).

Sia di giacitura un piano e sia di giacitura una retta.
Allora (sono paralleli) se e solo se (infatti è impossibile che si verifichi ).
Infatti, se e , allora la condizione di parallelismo è

Invece sono incidenti e si incontrano in un solo punto se e solo se il sistema lineare
è compatibile con un'unica soluzione; ovvero
Per calcolare tale punto bisogna risolvere il sistema lineare costituito dalle equazioni cartesiane per .

FIGURA 7.1. (Teorema 7.1.)
Pasted image 20240114174916.png

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 7.1.
Omessa (è già stata fornita una dimostrazione parziale nell'enunciato).

8. Condizioni di parallelismo e di incidenza tra due spazi

Teorema 9 (condizioni di parallelismo e di incidenza per due spazi).

Siano due piani, rispettivamente di giacitura .
Allora se e solo se ()

Oppure non sono paralleli se si intersecano lungo una retta; per determinare tale retta bisogna determinare la soluzione generica al sistema lineare formata dalle equazioni cartesiane per .

FIGURA 8.1. (Teorema 8.1.)
Pasted image 20240114175248.png

9. Condizioni di complanarità tra due rette

Definizione 10 (rette complanari).

Due rette si dicono complanari se esiste un piano tale che .

Teorema 11 (condizione necessaria e sufficiente di complanarità).

Due rette sono complanari se e solo se accade una delle due condizioni:

  • le rette sono incidenti
  • le rette sono paralleli o coincidenti

In particolare, sono complanari e distinte allora esiste un unico piano che contenga .

FIGURA 9.1. (Definizione 9.1., teorema 9.1.)
Pasted image 20240108222544.png

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE (parziale) del teorema 9.1. (Teorema 11 (condizione necessaria e sufficiente di complanarità))
Questa dimostrazione si articolerà solo nella dimostrazione del solo verso , ovvero "se le rette sono incidenti o paralleli (ovvero non sghembi), allora le rette sono complanari".
Supponiamo dunque che siano dei sottospazi affini rispettivamente passanti per e di giacitura .
In primo luogo vediamo il caso in cui sono incidenti.
Allora per le condizioni di incidenza per due rette (???), sono linearmente indipendenti; quindi possiamo scegliere la giacitura di come e questo sottospazio affine sarà passante per .
In secondo luogo supponiamo che siano parallele.
Ma ; allora se imponiamo un'ulteriore condizione, ovvero , allora esiste un unico piano tale che . Per ottenere la giacitura di , possiamo scegliere o , ma non entrambe dal momento che questi due vettori sono linearmente dipendenti.
Scegliamo pertanto il vettore che è non-nullo in quanto e linearmente indipendente dai vettori (altrimenti ci sarebbe un assurdo!).
In definitiva, il piano è il piano passante per e di giacitura .

Osservazione 12 (ottenere descrizioni di ).

Vediamo che la dimostrazione al teorema 9.1. (^a1282f) è una dimostrazione "costruttiva", dato che ci dà proprio le formule per descrivere .
Si illustra questa osservazione col seguente esempio.

Esempio 13 (Esempio 9.1.).

Consideriamo le rette nello spazio
Prima di tutto osserviamo che per definizione sono rispettivamente di giacitura Inoltre i due vettori "di direzione" (ovvero della giacitura) sono linearmente dipendenti. Da ciò discende, per le condizioni di parallelismo, le che le rette sono parallele.

Ora verifichiamo se è possibile che ; prendiamo il punto . Allora supponendo , da ciò si verificherebbe . Tuttavia facendo dei conti veloci vediamo immediatamente che il sistema
è incompatibile, dunque qui si ottiene un assurdo. Pertanto .

Allora l'unico piano è quello passante per e di giacitura
Si ottiene immediatamente l'equazione parametrica
Dopodiché, se la si ritiene opportuna, possiamo convertirla in un'equazione cartesiana, che è data da

Osservazione 14 (e se le rette sono sghembe?).

Come visto nel teorema 9.1. (Teorema 11 (condizione necessaria e sufficiente di complanarità)), se due rette sono sghembe, allora sicuramente non sono complanari. Tuttavia possiamo osservare che vale invece un'altra implicazione: esistono due piani che sono paralleli tra di loro, uno di cui passante per e l'altro per .
La giacitura di tali piani è .

Osservazione 15 (parametrica o cartesiana?).

Osserviamo infine che nella generalità dei casi, conviene usare le equazioni parametriche quando trattiamo di rette paralleli, se invece trattiamo di rette incidenti allora conviene usare le equazioni cartesiane.

Table Of Contents
Geometria Affine - Sommario
0. INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA AFFINE
0. Voci Correlate
1. Breve discordo introduttorio
A. LO SPAZIO AFFINE
A1. Definizione di Spazio Affine
0. Voci correlate
1. Definizione di Spazio Affine
2. Origine del concetto

A2. Spazio Affine

0. Prerequisiti e/o voci correlate
  1. Definizione particolare di spazio affine su
2. Esempio
A3. Proprietà dello spazio affine
0. Prerequisiti e/o voci correlate
1. Proprietà dello Spazio Affine
A4. Dimensione di uno spazio affine
0. Prerequisiti e/o voci correlate
1. Definizione di Dimensione per uno Spazio Affine
2. Casi particolari
A5. Riferimento affine su uno spazio affine
0. Prerequisiti e/o voci correlate
1. Definizione di riferimento affine
2. Esempio con spazio affine su K
B. LO SOTTOSPAZIO AFFINE
B1. Definizione di sottospazio affine
0. Prerequisiti e/o voci correlate
1. Definizione di Sottospazio Affine
2. Esempio su R2
3. Dimensione di Sottospazio Affine
B2. Proprietà dello sottospazio affine
0. Prerequisiti e/o voci correlate
1. Le proprietà dello Sottospazio Affine
B3. Definizione di Iperpiano
0. Prerequisiti e/o voci correlate
1. Definizione di Iperpiano
B4. Posizione reciproca tra sottospazi affini
0. Prerequisiti e/o voci correlate
1. Sottospazi affini incidenti, coincidenti, paralleli e sghembi
C. LA CODIFICAZIONE DI UNO SOTTOSPAZIO AFFINE
C1. Equazioni cartesiane e parametriche di uno sottospazio affine
0. Prerequisiti e/o voci correlate
1. Teorema preliminare
2. Definizione di Equazioni Cartesiane e Parametriche
Equazioni Cartesiane
Equazioni Parametriche
3. Pro e Contro
4. Conseguenze di queste forme
C2. Passaggio tra equazioni cartesiane e parametriche
0. Prerequisiti e/o voci correlate
1. Da cartesiana a parametrica
2. Da parametrica a cartesiana
D. LA GEOMETRIA DEL PIANO E DELLO SPAZIO AFFINE
D1. La geometria del piano affine 2D
0. Prerequisiti e/o voci correlate
1. I sottospazi del Piano
2. Equazioni parametriche e cartesiane per le rette
3. Determinare equazioni per le rette dati due punti
4. Condizioni di incidenza e di parallelismo per due rette
5. Esercizi misti
D2. La geometria dello spazio affine 3D
0. Prerequisiti e/o voci correlate
1. I sottospazi dello Spazio
2. Equazioni della retta nello spazio
3. Determinare rette nello spazio da due punti
4. Equazioni del piano nello spazio
5. Determinare l'allineamento di tre punti
6. Determinare un piano da tre punti nello spazio
7. Condizioni di parallelismo e di incidenza tra retta e spazio
8. Condizioni di parallelismo e di incidenza tra due spazi
9. Condizioni di complanarità tra due rette