data: 2024-02-05
corso: [[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]
argomento: Geometria Affine - Sommario
tipologia: sommario
stato: "1"
capitolo:Geometria Affine - Sommario
Tutto sulla Geometria Affine, in particolare la Geometria Affine del piano e dello spazio.
data: 2023-12-09
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Introduzione alla Geometria Affine
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo: Geometria AffineBreve discorso di introduzione alla Geometria affine
DI COSA TRATTA LA GEOMETRIA AFFINE? La geometria affine è quel ramo affascinante che si occupa degli oggetti "dritti" - piani e rette - esplorandoli in modo intrigante. In questa esplorazione, attribuiremo a questi oggetti la caratteristica distintiva di essere "spazi di punti" e useremo i "spazi vettoriali" come dei spazi di direzioni (Spazi VettorialiSpazi Vettoriali).
LA DIFFERENZA TRA SPAZI VETTORIALI E SPAZI AFFINI. Come mai non utilizziamo i spazi vettoriali direttamente come dei spazi affini? In altre parole, come mai non facciamo coincidere questi due concetti?
Questo perché un spazio vettoriale, ad esempio
Invece in uno spazio euclideo la nozione di "punto nullo" non avrebbe senso.
IL PUNTO CRUCIALE. Uno dei punti cruciali di questo studio della geometria affine è lo studio dei sottospazi affini e in particolare troveremo due metodi interessanti per codificarli: da un lato abbiamo le equazioni cartesiane, dall'altro le equazioni parametriche.
Vedremo che sono particolarmente interessanti in quanto essi possono presentare collegamenti interessanti con la statistica e con l'informatica.
data: 2023-12-09
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Definizione di Spazio Affine
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo: Geometria AffineDefinizione di Spazio Affine: le proprietà caratterizzanti, l'origine del concetto di spazio affine.
Sia
Definiamo un insieme
Sia
Questa definizione di spazio affine emerge come generalizzazione delle proprietà dei vettori liberi (Vettori Liberi > ^d09c32Vettori Liberi > ^d09c32).
Infatti abbiamo visto che questi vettori liberi formano uno spazio vettoriale (Spazi Vettoriali > ^7e2c4eDefinizione 1 (spazio vettoriale sul campo K)), e che per ogni punto
Dopodiché il punto
FIGURA 2.1. (Vettore applicato come elemento particolare di un vettore libero)
FIGURA 2.2. (Regola SA2. in termini di vettori applicati)
data: 2023-12-09
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Spazio Affine su K
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo: Geometria AffineEsempio particolare di spazio affine: definizione di spazio affine su
Si può prendere lo spazio affine
Allora quando pensiamo
In questo caso la funzione
Infatti, indicheremo questo tipo di spazio affine con
Consideriamo lo spazio affine
Prendiamo i punti
Allora in questo caso
FIGURA 3.1. (esempio dello spazio affine 2D sui reali)
data: 2023-12-09
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Proprietà dello Spazio Affine
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo: Geometria AffineLemma di proprietà dello spazio affine, scaturite dalle proprietà di definizione.
Sia
Allora valgono le seguenti proprietà.
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del lemma 1.1.
Le due proprietà seguono dalle proprietà di definizione SA1., SA2. dello spazio affine (Definizione di Spazio Affine > ^100c32Definizione 1 (spazio affine)).
data: 2023-12-09
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Dimensione di uno Spazio Affine
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo: Geometria AffineDefinizione di dimensione per uno spazio affine: casi particolari
Sia
Allora definisco la dimensione dello spazio affine
Voglio dividere "casistiche" in cui ho il numero
Quindi abbiamo in totale quattro casi.
data: 2023-12-09
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Riferimento affine su uno Spazio Affine
tipologia: appunti
capitolo: Geometria Affine
stato: "1"Definizione di riferimento affine su uno spazio affine; esempio.
Sia
Definiamo un riferimento affine su
Allora dato un riferimento affine
Se consideriamo lo spazio affine
Allora il riferimento
Considero lo spazio affine
Allora fissando il punto
Considero dunque il vettore
Se avessimo considerato sempre lo stesso punto
Allora per calcolare le coordinate del punto
data: 2023-12-09
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Definizione di Sottospazio Affine
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo: Geometria AffineDefinizione di Sottospazio Affine, esempio e definizione di dimensione per sottospazio affine.
Sia
Definiamo allora il sottospazio affine passante per
Inoltre, diciamo che il sottospazio vettoriale
Consideriamo lo spazio affine
Prendiamo il punto
Allora vogliamo sapere "chi è lo sottospazio affine
Scriviamo innanzitutto la definizione dello sottospazio affine e vediamo di "analizzarlo":
Sia
Diciamo che la dimensione (Dimensione > ^3a9321Definizione 1 (dimensione di un spazio vettoriale)) di
data: 2023-12-09
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Proprietà dello Sottospazio Affine
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo: Geometria AffineTre proprietà dello sottospazio affine.
Sia
Allora valgono le seguenti proprietà:
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE della proposizione 1.1. (^7668d6Proposizione 1 (le tre proprietà dello sottospazio affine))
Notiamo che se
data: 2023-12-09
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Iperpiano
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo: Geometria AffineDefinizione di Iperpiano.
Sia
Se vale che
Possiamo "ridefinire" i punti, le rette e i piani (Dimensione di uno Spazio Affine > ^d772dbDefinizione 2 (punto, retta, piano e spazio affine)) in termini di iperpiani:
Le definizioni sono quindi simili.
data: 2023-12-13
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Posizione Reciproca di Sottospazi Affini
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo: Geometria AffinePosizione reciproca tra sottospazi affini: definizione di sottospazi affini incidenti, coincidenti, paralleli e sghembi.
Siano
Allora
FIGURA 1.1. (Situazioni grafiche in 2D e 3D)
data: 2023-12-10
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Definizione di Equazioni Cartesiane e Parametriche di uno Sottospazio Affine
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo: Geometria AffineDefinizione di Equazioni Cartesiane ed Equazioni Parametriche per la codificazione per uno sottospazio affine; teorema preliminare, dimostrazione e definizioni.
Sia
Supponiamo che il sistema lineare
Allora
Inoltre,
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 1.1. (^0461d1Teorema 1 (di codificazione dei sottospazi affini))
Questo teorema segue direttamente dal teorema di struttura per le soluzioni dei sistemi lineari arbitrari (Teoremi sui Sistemi Lineari > ^49a263Definizione 9 (sistema lineare omogeneo associato)). Infatti tutte e sole le soluzioni di
Pertanto se "interpretiamo"
In tal caso dal teorema di dimensione (Teorema di dimensione delle soluzioni di sistemi lineariTeorema di dimensione delle soluzioni di sistemi lineari) discende che
Sia
Se un sistema lineare
Pertanto, applicando le operazioni elementari (Algoritmo di Gauß > ^ccc408Algoritmo di Gauß > ^ccc408) a
Infatti, questa osservazione diventerà la base dell'"algoritmo" del passaggio dalle equazioni cartesiane a quelle parametriche (Passaggio tra Equazioni Cartesiane e Parametriche di uno Sottospazio AffinePassaggio tra Equazioni Cartesiane e Parametriche di uno Sottospazio Affine).
Sia ora
Allora possiamo scrivere ogni elemento della base come elemento di
Riscriviamo quindi questa condizione utilizzando i termini che abbiamo appena introdotto.
Sia
Allora il seguente sistema di equazioni si dice equazioni parametriche per uno sottospazio affine con
Vediamo che abbiamo due forme distinte per "codificare" un sottospazio affine; entrambi di essi hanno i suoi vantaggi e svantaggi.
Nel caso delle equazioni parametriche possiamo facilmente generare punti dello sottospazio, quindi possiamo mediante gli strumenti dell'informatica generare una visualizzazione grafica dello sottospazio affine inserendo valori di
Però saremmo facilitati con le equazioni cartesiane a questo fine: basta inserire i valori numerici del punto per verificare se esso appartenga o meno al sottospazio affine.
Questa distinzione vale anche per gli oggetti algebrici!
Da quanto visto, un sottospazio affine
In particolare un retta in
Sia
Allora come visto sopra,
Viceversa, ogni volte che imponiamo un'equazione non banale (ovvero non del tipo
Come vedremo nella geometria dello spazio affine (Geometria dello Spazio AffineGeometria dello Spazio Affine), una retta in
FIGURA 4.2. (OSS 4.2.)
data: 2023-12-10
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Passaggio tra Equazioni Cartesiane e Parametriche di uno Sottospazio Affine
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo: Geometria AffinePassaggio tra equazione cartesiana a parametrica (e viceversa) di uno sottospazio affine.
Sia
Allora per trovare le equazioni parametriche di questo sottospazio affine è sufficiente considerare il teorema di struttura delle soluzioni per i sistemi lineari (Teoremi sui Sistemi Lineari > ^49a263Definizione 9 (sistema lineare omogeneo associato)): ovvero si tratta prima di determinare una soluzione particolare
Infine un qualunque elemento della soluzione di
Si consideri il seguente esempio.
In primo luogo determiniamo il numero di equazioni necessarie per descrivere il sottospazio, calcolando
Allora
Ora, considerando il teorema di struttura delle soluzioni di un sistema lineare qualsiasi, sappiamo che
Teniamo la soluzione particolare
Pertanto le equazioni parametriche di
Supponiamo di avere le seguenti equazioni parametriche (Definizione di Equazioni Cartesiane e Parametriche di uno Sottospazio Affine > ^3babd4Definizione 5 (equazioni parametriche per uno sottospazio affine)) per un sottospazio affine
In altre parole, bisogna imporre la condizione
Ovvero, avremmo una matrice del tipo
Si consideri il seguente esempio.
Abbiamo in
In definitiva, l'equazione cartesiana ottenuta è l'unica equazione
data: 2023-12-13
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Geometria del Piano Affine
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo: Geometria del Piano e dello SpazioCenni alla geometria del piano affine: tutti i sottospazi affini possibili; le rette nel piano, equazioni cartesiane e parametriche; generare retta da due punti; condizioni di coincidenza e parallelismo per due rette.
Sia
Allora, prendendo un sottospazio affine
In questa pagina ci concentreremo particolarmente sulle rette.
Sia
Allora
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 2.1. (^e0f881Teorema 2 (equazioni parametriche e cartesiane per le rette sul piano))
Dalla geometria elementare euclidea sappiamo che per due punti distinti nel piano passa una ed una sola retta. Graficamente, questo enunciato è banale; infatti, possiamo collegare due punti distinti con una "riga dritta" in un unico modo.
Però ora vediamo di procedere con un enunciato rigoroso, seguito da una dimostrazione rigorosa.
Siano
Ovvero, siano
Allora la retta
Notiamo che possiamo ottenere l'equazione cartesiana più "elegante" se è vera la condizione per cui
Questa condizione, in termini geometrici, vuol dire che la retta passante per i due punti non è verticale; infatti,
Allora, ciò significa che
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 3.1. (^8ce632Teorema 4 (equazione parametrica e cartesiana della retta tra due punti distinti))
Partiamo considerando che se
Ora calcoliamo il vettore
Quindi
Così abbiamo abbastanza informazioni per ottenere le equazioni cartesiane e parametriche con le formule date nel teorema 2.1. (^e0f881Teorema 2 (equazioni parametriche e cartesiane per le rette sul piano)).
Dalla geometria elementare ci ricordiamo che, se ho due rette allora ho le seguenti possibilità: che siano parallele, coincidenti o incidenti.
In particolare, sono parallele se e solo se le rette sono identiche o non hanno punti in comune; sono incidenti se hanno un solo punto in comune.
Però, ora vediamo di "tradurre" questo postulato in termini nostri. Effettuiamo questa transizione dalla geometria elementare alla formulazione affine della geometria.
Siano
Allora
Inoltre
Notiamo che queste condizioni di parallelismo e di incidenza non sono altro che una generalizzazione del concetto delle posizioni reciproche tra sottospazi (Posizione Reciproca di Sottospazi AffiniPosizione Reciproca di Sottospazi Affini), in questo caso abbiamo applicato queste definizioni allo spazio affine
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 4.2. (^a10a3dTeorema 7 (condizioni di parallelismo e di incidenza per due rette))
Siano
data: 2023-12-13
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Geometria dello Spazio Affine
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo: Geometria del Piano e dello SpazioGeometria dello Spazio Affine: tutti i sottospazi possibili; equazioni per la retta nello spazio; determinare una retta nello spazio da due punti; equazioni del piano; determinare un piano da tre punti non allineati; determinare se tre punti sono allineati o meno; condizioni di coincidenza e di parallelismo per le rette e gli spazi; condizioni di complanarità tra due rette
Sia
Sia
Allora abbiamo le seguenti equazioni parametriche e cartesiane per descrivere
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 2.1.
La dimostrazione è stata omessa, in quanto il ragionamento è completamente analogo a quello presentato nella derivazione delle equazioni parametriche e cartesiane per una retta in
Siano
Allora per questi due punti pasa una ed una sola retta e le sue equazioni sono le seguenti.
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 3.1.
Omessa per le stesse ragioni della dimostrazione del teorema 3.2..
Siano
Allora un piano
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 4.1.
La derivazione delle equazioni parametriche è stata omessa; invece sarà utile riflettere sulla derivazione dell'equazione cartesiana.
Pigliamo la matrice
Di conseguenza, da questi fatti discerne che
Siano
Allora, per determinare se questi siano "allineati" o meno possiamo adoperare uno dei criteri:
i. Determinare le rette passanti per
ii. Determinare la retta
iii. Verificare la dipendenza lineare tra i vettori
(Figura 5.1.)
FIGURA 5.1. (L'idea grafica dei criteri)
Come osservato con la geometria del piano affine (Geometria del Piano Affine > ^9a91b2Osservazione 3 (richiamo dalla geometria elementare)), per due punti distinti passa una e sola retta.
Parimenti, per tre punti passa un solo piano, se questi punti non sono allineati.
Ora vediamo di derivare l'equazione di questo piano.
Siano
Allora esiste uno e solo piano
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 6.1.
Per questa derivazione scegliamo a piacere due applicazioni lineari
Da qui in poi sarà semplice determinare le equazioni parametriche e cartesiane per
Sia
Allora
Infatti, se
Invece sono incidenti e si incontrano in un solo punto se e solo se il sistema lineare
FIGURA 7.1. (Teorema 7.1.)
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 7.1.
Omessa (è già stata fornita una dimostrazione parziale nell'enunciato).
Siano
Allora
Oppure non sono paralleli se
FIGURA 8.1. (Teorema 8.1.)
Due rette
Due rette
In particolare,
FIGURA 9.1. (Definizione 9.1., teorema 9.1.)
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE (parziale) del teorema 9.1. (^a52715Teorema 11 (condizione necessaria e sufficiente di complanarità))
Questa dimostrazione si articolerà solo nella dimostrazione del solo verso
Supponiamo dunque che
In primo luogo vediamo il caso in cui
Allora per le condizioni di incidenza per due rette (???),
In secondo luogo supponiamo che
Ma
Scegliamo pertanto il vettore
In definitiva, il piano
Consideriamo le rette nello spazio
Ora verifichiamo se è possibile che
Allora l'unico piano è quello passante per
Come visto nel teorema 9.1. (^a52715Teorema 11 (condizione necessaria e sufficiente di complanarità)), se due rette sono sghembe, allora sicuramente non sono complanari. Tuttavia possiamo osservare che vale invece un'altra implicazione: esistono due piani
La giacitura di tali piani è
Osserviamo infine che nella generalità dei casi, conviene usare le equazioni parametriche quando trattiamo di rette paralleli, se invece trattiamo di rette incidenti allora conviene usare le equazioni cartesiane.